Glossario di teoria dei campi

Questa pagina è dedicata ad un glossario di teoria dei campi che vuole anche aiutare, insieme alla pagina della Categoria:Teoria_dei_campi, a rintracciare gli articoli di tale settore della matematica.

Table of contents

1 Definizione di campo 2 Definizioni di base 3 Omomorfismi 4 Campi specifici 5 Teoria di Galois

Definizione di campo

Un campo è un anello commutativo unitale (F,+,*,0,1) nel quale ogni elemento diverso dallo zero è invertibile. Sopra un campo si possono effettuare le quattro operazioni razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione: questo fa dei campi gli ambienti più vantaggiosi per le attività computazionali e di conseguenza per numerose applicazioni.

Definizioni di base

; Gruppo moltiplicativo di un campo chiamato F : Gruppo abeliano costituito dagli elementi diversi da zero di F munito del prodotto; si denota tradizionalmente F^×.

; Caratteristica del campo F : Il più piccolo intero positivo n tale che n·1 = 0; qui n·1 sta per la somma di n sommandi 1 + 1 + 1 + ... + 1. Se un tale intero non esiste si dice che la caratteristica del campo è zero. Ogni caratteristica diversa da zero è un numero primo. Ad es. i campi dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri p-adici hanno caratteristica 0, mentre il campo finito Z_p ha caratteristica p.

; anello dei polinomi con coefficienti nel campo F : Si denota tradizionalmente F[x].

; Sottocampo del campo F : Sottoinsieme di F chiuso rispetto alle operazioni + e * del campo e che, con queste operazioni, costituisce esso stesso un campo.

; Campo primo del campo F : L'unico sottocampo più ridotto di F.

; Campo estensione : Se F è sottocampo di E si dice che E è un campo estensione di F; si può anche dire che E è un sovracampo di F.

; Estensione algebrica del campo F : Se un elemento α di un campo estensione E di F è la radice di un polinomio in F[x], allora α si dice elemento algebrico su F. Se ogni elemento di E è algebrico su F, si dice che E è una estensione algebrica di F.

; Campo splitting : Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un polinomio.

; Estensione normale : Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un insieme di polinomi.

; Estensione separable : Campo estensione generato dalle radici di polinomi separabili.

; Elemento primitivo : Elemento α di un campo estensione E sopra un campo F tale che E=F(α), il minimo campo estensione contenente α.

; Campo perfetto : Campo tale che ogni sua estensione finita è separabile. Tutti i campi di caratteristica zero e tutti i campi finiti sono perfetti.

; Campo algebricamente chiuso : Estensione algebrica massimale di un campo F è la sua chiusura algebrica. Un campo è algebricamente chiuso se coincide con la propria chiusura algebrica.

; Elemento trascendentale di un campo F : Elemento che non è algebrico su F.

; Grado di trascendenza : Numero di elementi transcendentali indipendenti in un campo estensione. Viene usato per definire la dimensione di una varietà algebrica.

Omomorfismi

; Omomorfismo tra due campi E e F: Funzione

f : E → F

tale che per tutti gli x e y in E:

f(1) = 1

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(xy) = f(x) f(y)

Queste proprietà implicano che f(0) = 0, f(x^-1) = f(x)^-1

per ogni x in E diverso da 0, e che f è iniettiva.

La classe dei campi munita di questi omomorfismi, forma una categoria.

; Campi isomorfi : Due campi E e F sono detti isomorfi se tra di loro esiste un omomorfismo biiettivo

f : E → F.

Due campi isomorfi si possono identificare per tutte le applicazioni pratiche. Occorre osservare che questa identificazione la si può ottenere con diversi isomorfismi. Vedi ad esempio la coniugazione complessa.

Campi specifici

; Campo finito : Campo con insieme sostegno finito.

; Campo ordinato : Campo munito di un ordine totale compatibile con le sue operazioni.

; Campo dei numeri razionali o in breve Campo dei razionali : V. numero razionale

; Campo dei numeri reali : V. numero reale

; Campo dei numeri complessi : V. numero complesso

; Campo numerico : Estensione algebrica del campo dei numeri razionali.

; Campo dei numeri algebrici : Questo campo (v. numero algebrico) è l'estensione algebricamente chiusa del campo dei numeri razionali. Le loro proprietà sono indagate nella teoria dei numeri algebrici.

; Campo quadratico : Estensione di grado 2 del campo dei razionali.

; Campo ciclotomico : Estensione del campo dei numeri razionali generata da una radice dell'unità.

; Campo totalmente reale : Campo numerico generato da una radice di un polinomio che ha tutte le sue radici reali.

Teoria di Galois

; Estensione di Galois : Campo estensione normale e separabile.

; Gruppo di Galois : Il gruppo degli automorfismi di una estensione di Galois. Nel caso di una estensione finita è un gruppo finito di ordine uguale al grado dell'estensione. I gruppi di Galois delle estensioni infinite sono gruppi profiniti.

; Teoria di Kummer : La teoria di Galois del prendere radici n-esime, date abbastanza radici dell'unità. Include la teoria generale delle estensioni quadratiche.

; Teoria di Artin - Scheier : Copre un caso eccezionale per la teoria di Kummer in caratteristica p.

; Prodotto tensoriale di campi : Settore fondazionale dell'algebra concernente l'operazione compositum (giunzione, ''join, di campi).

; Teoria di Galois alla Grothendieck : Approccio molto astratto a partire dalla geometria algebrica, sviluppato per studiare l'analogo del gruppo fondamentale.

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